El mapa logístico x → r·x·(1−x), la ecuación más simple que produce caos (May, 1976). Léela como una población de juguete: r·x es crecimiento, (1−x) es hacinamiento. El abanico de bifurcación dibuja el atractor a largo plazo para cada tasa de crecimiento r de 2.5 a 4.0 — un valor estacionario se divide en un ciclo de 2, luego de 4, luego de 8, con las duplicaciones acelerándose hacia el caos al ritmo universal de Feigenbaum δ≈4.669. Una escalera de telaraña enlazada en la r del cursor muestra por qué: vertical a la parábola, horizontal a la diagonal y=x, repite. El abanico es el QUÉ; la telaraña es el PORQUÉ.
Parámetros — cómo usarlos
r
La tasa de crecimiento — el único mando, marcado como una línea vertical brillante en el abanico y que reinicia la telaraña. Prueba r=2.8: un valor estable (1−1/r≈0.643), la telaraña dibuja una espiral hasta un punto. Pasa a 3.2 para un ciclo de 2 limpio (la escalera forma cajas), luego 3.5 (ciclo de 4), luego 3.9 — la telaraña llena el cuadrado caóticamente. El indicador Período nombra el ciclo (1/2/4/8) o dice «caos».
Calentamiento
Iteraciones descartadas por columna antes de dibujar, para dejar decaer los transitorios. Bájalo hacia 100 y aparecen ramas falsas fantasma sobre el atractor verdadero; súbelo cerca de 1000 para limpiarlas — esencial al mirar cerca del inicio del caos en r∞≈3.570, donde la convergencia es más lenta.
Muestras
Puntos dibujados por columna de r tras el calentamiento. Los valores bajos dejan la banda caótica rala; súbelo hacia 400 para rellenar la densidad (más oscuro = la órbita visita esa x más a menudo), haciendo mucho más claras la ventana de período 3 y la estructura de bandas dentro del caos.
r → 3.2
Lleva r a 3.2, el caso de período 2 de los libros de texto. Observa cómo la telaraña se asienta en un rectángulo limpio que rebota entre dos valores (≈0.799 y ≈0.513) — el atractor no trivial más simple, un buen ancla antes de explorar duplicaciones más profundas.
Ventana P-3
Lleva r a 3.828 (=1+√8), la ventana de período 3 excavada en la región caótica. La mancha colapsa de repente en un ciclo nítido de tres puntos — la demostración más llamativa de que el orden resurge dentro del caos, y la comprobación más clara de que el eje r está calibrado.
arrastra el diagrama para recorrer r
Haz clic y arrastra de izquierda a derecha por el abanico para recorrer r de forma continua y ver la telaraña redibujarse en vivo. Arrastra despacio por r≈3.0 → 3.45 → 3.54 → 3.57 para sentir cómo las duplicaciones llegan cada vez más rápido antes de disolverse — la cascada que define la constante de Feigenbaum.
En qué fijarse
Los hitos del abanico (P2 en r=3, P4≈3.449, P8≈3.544, r∞≈3.570, P3≈3.828) marcan la ruta al caos; los intervalos de duplicación se acortan según la razón universal mostrada como Feigenbaum δ≈4.66920. El recuadro de la telaraña es el mecanismo en vivo — una espiral hacia un punto por debajo de r=3, una caja alrededor de un ciclo en las ventanas periódicas, un enredo que llena el cuadrado en el caos.